Axiomatique des fonctions biharmoniques. I
Annales de l'Institut Fourier, Volume 25 (1975) no. 1, p. 35-97
The existing axiomatic theories of harmonic functions do not apply to simple equations of order >2, like the biharmonic equation Δ 2 u=Δ(Δu)=0 or the equivalent system Δu 1 =-u 2 , Δu 2 =0.By means of a sheaf of suitable pairs of functions (u 1 ,u 2 ), a local axiomatic theory is therefore constructed to which two harmonic sheafs are associated. It applies to equations to type L 2 (L 1 u)=0, where L j (j=1,2) is a linear second-order operator, elliptic or parabolic. In this setting, the Perron-Wiener-Brelot method is extended to treat the (generalized) Riquier problem, and it is then shown that the question of regularity of a boundary point with respect to this problem can be reduced to harmonic regularity.
Les théories axiomatiques existantes de fonctions harmoniques ne s’appliquent pas à des équations simples d’ordre >2, comme l’équation biharmonique Δ 2 u=Δ(Δu)=0 ou le système équivalent Δu 1 =-u 2 , Δu 2 =0.On développe donc ici, au moyen d’un faisceau de couples convenables de fonctions (u 1 ,u 2 ) une approche axiomatique locale applicable à des équations du type L 2 (L 1 u)=0, où L j (j=1,2) est un opérateur linéaire du second ordre elliptique ou parabolique. Deux axiomatiques harmoniques lui sont associées. On traite, dans ce cadre, le problème (généralisé) de Riquier en étendant la méthode Perron-Wiener-Brelot et on montre ensuite que l’étude de la régularité d’un point-frontière par rapport à ce problème se ramène à celle de la régularité harmonique.
@article{AIF_1975__25_1_35_0,
     author = {Smyrnelis, Emmanuel P.},
     title = {Axiomatique des fonctions biharmoniques. I},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {25},
     number = {1},
     year = {1975},
     pages = {35-97},
     doi = {10.5802/aif.544},
     mrnumber = {52 \#3573},
     zbl = {0295.31006},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1975__25_1_35_0}
}
Axiomatique des fonctions biharmoniques. I. Annales de l'Institut Fourier, Volume 25 (1975) no. 1, pp. 35-97. doi : 10.5802/aif.544. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1975__25_1_35_0/

[1] V. Anandam, Espaces harmoniques sans potentiel positif, Ann. Inst. Fourier, 22, 4 (1972), 97-160. | Numdam | MR 50 #2536 | Zbl 0235.31015

[2] H. Bauer, a) Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Math. Annalen, 146 (1962), 1-59. | MR 26 #1612 | Zbl 0107.08003

H. Bauer, b) Weiterführung einer axiomatischen Potentialtheorie ohne Kern (Existenz von Potentialen), Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 1 (1963), 197-229. | MR 27 #5926 | Zbl 0216.10301

H. Bauer, c) Harmonische Räume und ihre Potentialtheorie, Lecture notes n° 22, Springer-Verlag, (1966). | Zbl 0142.38402

[3] H. Bauer, Harmonic spaces and associated Markov processes, dans “Potential theory”, p. 23-67, C.I.M.E., Ediz. Cremonese, Roma, (1970). | MR 43 #8123 | Zbl 0198.44403

[4] N. Boboc, C. Constantinescu, A. Cornea, Axiomatic theory of harmonic functions. Balayage, Ann. Inst. Fourier, 15, 2 (1965), 37-70. | Numdam | MR 33 #1476 | Zbl 0138.36603

[5] J.M. Bony, Principe du maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénérés, Ann. Inst. Fourier, 19, 1 (1969), 277-304. | Numdam | MR 41 #7486 | Zbl 0176.09703

[6] M. Brelot, a) Une axiomatique générale du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts. Séminaire de théorie du potentiel, 1, (1957), n° 6. Paris. Institut Henri Poincaré. | Numdam

M. Brelot, b) Axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dans un espace localement compact. Séminaire de théorie du potentiel, 2, (1958), n° 1. Paris, Institut Henri Poincaré. | Numdam

M. Brelot, c) Lectures on potential theory, Tata Institute, Bombay, (1960). | MR 22 #9749 | Zbl 0098.06903

[7] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques, Les Presses de l'Université de Montréal, (1966). | Zbl 0148.10401

[8] C. Constantinescu, A. Cornea, Potential theory on harmonic spaces, Springer-Verlag, (1972). | MR 54 #7817 | Zbl 0248.31011

[9] A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall, Inc., (1964). | MR 31 #6062 | Zbl 0144.34903

[10] S. Guber, On the potential theory of linear homogeneous parabolic partial differential equations of second order, Symposium on probability methods in analysis, Lecture notes n° 31, Springer-Verlag, (1967). | Zbl 0168.08203

[11] L.L. Helms, Introduction to potential theory, Wiley-Interscience, (1969). | MR 41 #5638 | Zbl 0188.17203

[12] R.M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR 25 #3186 | Zbl 0101.08103

[13] G. Mokobodzki et D. Sibony, Cônes de fonctions et théorie du potentiel, I. Les noyaux associés à un cône de fonctions. Séminaire de théorie du potentiel, 11, 1966-1967, n° 8. Paris, Institut Henri Poincaré. | Numdam | Zbl 0169.13502

[14] M. Nicolesco, Les fonctions polyharmoniques, Paris, Hermann, (1936). | Zbl 0016.02505

[15] E.P. Smyrnelis, Mesures normales et fonctions harmoniques, Bull. Sci. math., 2ème série, 95 (1971), 197-207. | MR 45 #3749 | Zbl 0229.31010