Les théorèmes de renouvellement
Annales de l'Institut Fourier, Volume 15 (1965) no. 1, p. 169-187
Soit D un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires E de D * E=-δ. Nous ne considérons que les D définis sur le groupe R, la droite réelle.S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale E. Celle-ci s’exprime comme E=lim λ0 E λ E λ =(λδ-D) -1 . Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que E possède des limites, au sens des distributions, aux points + et -. La dérivée E s’annule à l’infini.Il se peut que D n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe R et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille {C λ } de constantes positives telles que E λ -C λ dx converge vers une solution élémentaire E. Pour cette solution E la dérivée E possède des limites à droite et à gauche, à savoirlimx±E*f(x)=±σ-2f(y)dyσ 2 =x 2 D. La dérivée seconde E s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.
@article{AIF_1965__15_1_169_0,
     author = {Herz, Carl S.},
     title = {Les th\'eor\`emes de renouvellement},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {15},
     number = {1},
     year = {1965},
     pages = {169-187},
     doi = {10.5802/aif.203},
     mrnumber = {33 \#5010},
     zbl = {0202.47103},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1965__15_1_169_0}
}
Les théorèmes de renouvellement. Annales de l'Institut Fourier, Volume 15 (1965) no. 1, pp. 169-187. doi : 10.5802/aif.203. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1965__15_1_169_0/

[1] W. Feller et S. Orey, A renewal theorem, Journ. Math. and Mech., 10 (1961), 619-624. | MR 24 #A581 | Zbl 0096.33401

[2] W. Hoeffding, On sequences of sums of independent random vectors, 4th Berkeley Symposium on Math. Stat. and Prob., vol. II, 213-226. | MR 25 #1563 | Zbl 0211.20605

[3] Frank Spitzer, Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614. | MR 25 #2655 | Zbl 0218.60061