Les théorèmes de renouvellement
Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 1, pp. 169-187.

Soit D un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires E de D * E=-δ. Nous ne considérons que les D définis sur le groupe R, la droite réelle.

S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale E. Celle-ci s’exprime comme E=lim λ0 E λ E λ =(λδ-D) -1 . Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que E possède des limites, au sens des distributions, aux points + et -. La dérivée E s’annule à l’infini.

Il se peut que D n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe R et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille {C λ } de constantes positives telles que E λ -C λ dx converge vers une solution élémentaire E. Pour cette solution E la dérivée E possède des limites à droite et à gauche, à savoir

limx±E*f(x)=±σ-2f(y)dy

σ 2 =x 2 D. La dérivée seconde E s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.

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[1] W. Feller et S. Orey, A renewal theorem, Journ. Math. and Mech., 10 (1961), 619-624. | MR | Zbl

[2] W. Hoeffding, On sequences of sums of independent random vectors, 4th Berkeley Symposium on Math. Stat. and Prob., vol. II, 213-226. | MR | Zbl

[3] Frank Spitzer, Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614. | MR | Zbl

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