Construire un noyau de la fonctorialité ? Le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL 1 à GL 2  [ Building some kernel of functoriality? The case of unramified automorphic induction from GL 1 to GL 2  ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 1, p. 87-147
The purpose of this work is to present a new adelic method for realising Langlands’ functoriality principle in the case of unramified automorphic induction from GL 1 to GL 2 on function fields. A kernel of functoriality is built on the product of the adelic groups GL 1 and GL 2 . It is some kind of “family” local version of the construction for global Whittaker models, which is classically used in the “converse theorems” of Weil and Piatetski-Shapiro. Essential use is made of the Fourier transform on adele groups and of the Poisson formula, just as in Tate’s thesis.
Le but de cet article est de présenter une nouvelle méthode purement adélique pour réaliser le principe de fonctorialité de Langlands dans le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL 1 à GL 2 sur les corps de fonctions. On construit sur le produit des groupes adéliques GL 1 et GL 2 un noyau de la fonctorialité. C’est une version “en famille” et locale de la construction par les modèles de Whittaker globaux, utilisée classiquement dans les “théorèmes réciproques” de Weil et Piatetski-Shapiro. La plus grande partie de la construction et des vérifications nécessaires est locale, c’est-à-dire se fait place par place. Il s’agit de prouver que deux fonctions, dont chacune est définie localement, deviennent égales après sommation sur les éléments rationnels de certains groupes. Cela résulte de la formule de Poisson, sur le modèle de la thèse de Tate, dès lors que l’on comprend comment nos deux fonctions se déduisent localement l’une de l’autre par une certaine transformation de Fourier.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2518
Classification:  11F03,  11R11,  11R39,  11R56,  11R58
Keywords: Modular and automorphic functions, Langlands’ functoriality principle, automorphic induction, function fields, Adele rings, Fourier transform, Poisson formula, Whittaker functions
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Lafforgue, Laurent. Construire un noyau de la fonctorialité ? Le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL$_1$ à GL$_2$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 1, pp. 87-147. doi : 10.5802/aif.2518. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2010__60_1_87_0/

[1] Borel, A.; Casselman, W. Automorphic forms, representations and L-functions, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS Tome 33.I et 33.II (1978)

[2] Cogdell, J. W.; Piatetski-Shapiro, I. I. Converse theorems for GL n , Publications mathématiques de l’IHES (1994) no. 79, pp. 157-214 | Article | Numdam | MR 1307299 | Zbl 0814.11033

[3] Jacquet, H.; Langlands, R. P. Automorphic forms on GL(2), Springer-Verlag, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114 (1970) | MR 401654 | Zbl 0236.12010

[4] Lafforgue, L. Quelques remarques sur le principe de fonctorialité (2007) (Prépublication de l’IHES, no M/07/31, à paraître dans un volume de la collection « Astérisque » de la SMF)

[5] Lafforgue, L. Construire des noyaux de la fonctorialité ? Définition générale, cas de l’identité de GL 2 et construction générale conjecturale de leurs coefficients de Fourier (2009) (texte disponible sur le site de l’auteur (www.ihes.fr/~lafforgue/publications.html) à partir de septembre 2009)

[6] Langlands, R. P. Beyond endoscopy, Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD (2004), pp. 611-697 | MR 2058622 | Zbl 1078.11033

[7] Shalika, J. A. The multiplicity one theorem for GL n , Ann. of Math. (2), Tome 100 (1974), pp. 171-193 | Article | MR 348047 | Zbl 0316.12010

[8] Shintani, T. On an explicit formula for class-1 “Whittaker functions” on GL n over P-adic fields, Proceedings of the Japan Academy, Tome 52 (1976) no. 4, pp. 180-182 | Article | MR 407208 | Zbl 0387.43002

[9] Tate, J. T Fourier analysis in number fields, and Hecke’s zeta-functions, Princeton (1950) (Ph. D. Thesis)