# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

On the Fefferman-Phong inequality
Annales de l'Institut Fourier, Volume 58 (2008) no. 4, p. 1093-1115
We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by $\frac{n}{2}+4+ϵ$ improving thus the bound $2n+4+ϵ$ obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type ${S}_{0,0}^{0}$, we show that this number is bounded by $n+4+ϵ$; more precisely, for a non negative symbol $a$, the Fefferman-Phong inequality holds if ${\partial }_{x}^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a\left(x,\xi \right)$ are bounded for, roughly, $4\le |\alpha |+|\beta |\le n+4+ϵ$. To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol $a$ holds whenever all fourth partial derivatives of $a$ are in an algebra $𝒜$ of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : $𝒜$ is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in $𝒜$ are bounded in ${L}^{2}$.
Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par $\frac{n}{2}+4+ϵ$ améliorant ainsi la borne $2n+4+ϵ$ obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type ${S}_{0,0}^{0}$, nous montrons que ce nombre est majoré par $n+4+ϵ$ ; plus précisément, pour un symbole non négatif $a$, on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les ${\partial }_{x}^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a\left(x,\xi \right)$ sont bornées en gros pour $4\le |\alpha |+|\beta |\le n+4+ϵ$. Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif $a$ a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de $a$ soient dans une algèbre $𝒜$ de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions  : $𝒜$ est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de $𝒜$ sont bornés dans ${L}^{2}$.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2379
Classification:  35Axx,  35Sxx,  47G30,  58J40
Keywords: Fefferman-Phong inequality, Gårding inequality, symbol, ${S}_{\varrho ,\delta }^{m}$, pseudodifferential operator, Weyl quantization, Wick quantization, semi-boundedness, ${L}^{2}$ boundedness, algebra of symbols, uniformly local Sobolev space, Hölder space, semi-classical, Weyl-Hörmander class
@article{AIF_2008__58_4_1093_0,
author = {Boulkhemair, Abdesslam},
title = {On the Fefferman-Phong inequality},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
volume = {58},
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year = {2008},
pages = {1093-1115},
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Boulkhemair, Abdesslam. On the Fefferman-Phong inequality. Annales de l'Institut Fourier, Volume 58 (2008) no. 4, pp. 1093-1115. doi : 10.5802/aif.2379. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2008__58_4_1093_0/

 Bony, J.-M. Sur l’inégalité de Fefferman-Phong, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (1998–1999) (Exposé no 3) | Numdam

 Boulkhemair, A. ${L}^{2}$ estimates for pseudodifferential operators, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Tome IV, XXII, 1 (1995), pp. 155-183 | Numdam | MR 1315354 | Zbl 0844.35145

 Boulkhemair, A. Remarks on a Wiener type pseudodifferential algebra and Fourier integral operators, Math. Res. Lett., Tome 4 (1997), pp. 53-67 | MR 1432810 | Zbl 0905.35103

 Boulkhemair, A. ${L}^{2}$ estimates for Weyl quantization, J. Funct. Anal., Tome 165 (1999), pp. 173-204 | Article | MR 1696697 | Zbl 0934.35217

 Coifman, R.; Meyer, Y. Au delà des opérateurs pseudodifférentiels, Astérisque Tome 57 (1978) | Zbl 0483.35082

 Fefferman, C.; Phong, D. H. On positivity of pseudodifferential operators, Proc. Nat. Acad. Sci., Tome 75 (1978), p. 4673-4674 | Article | MR 507931 | Zbl 0391.35062

 Hörmander, L. The analysis of partial differential operators, Springer Verlag (1985) | Zbl 0601.35001

 Lerner, N.; Morimoto, Y. On the Fefferman-Phong inequality and a Wiener type algebra of pseudodifferential operators, Preprint (2005) (to appear in the Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (Kyoto University)) | MR 2341014

 Lerner, N.; Morimoto, Y. A Wiener algebra for the Fefferman-Phong inequality, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (2005–2006) (Exposé no 17) | Numdam | MR 2276082 | Zbl 1122.35163

 Sjöstrand, J. An algebra of pseudodifferential operators, Math. Res. Lett., Tome 1,2 (1994), pp. 189-192 | MR 1266757 | Zbl 0840.35130

 Tataru, D. On the Fefferman-Phong inequality and related problems, Comm. Partial Differential Equations, Tome 27 (2002) no. 11-12, pp. 2101-2138 | Article | MR 1944027 | Zbl 1045.35115