On the Fefferman-Phong inequality
Annales de l'Institut Fourier, Volume 58 (2008) no. 4, p. 1093-1115
We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by n 2+4+ϵ improving thus the bound 2n+4+ϵ obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type S 0,0 0 , we show that this number is bounded by n+4+ϵ; more precisely, for a non negative symbol a, the Fefferman-Phong inequality holds if x α ξ β a(x,ξ) are bounded for, roughly, 4|α|+|β|n+4+ϵ. To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol a holds whenever all fourth partial derivatives of a are in an algebra 𝒜 of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : 𝒜 is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in 𝒜 are bounded in L 2 .
Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par n 2+4+ϵ améliorant ainsi la borne 2n+4+ϵ obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type S 0,0 0 , nous montrons que ce nombre est majoré par n+4+ϵ ; plus précisément, pour un symbole non négatif a, on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les x α ξ β a(x,ξ) sont bornées en gros pour 4|α|+|β|n+4+ϵ. Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif a a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de a soient dans une algèbre 𝒜 de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions  : 𝒜 est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de 𝒜 sont bornés dans L 2 .
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2379
Classification:  35Axx,  35Sxx,  47G30,  58J40
Keywords: Fefferman-Phong inequality, Gårding inequality, symbol, S ϱ,δ m , pseudodifferential operator, Weyl quantization, Wick quantization, semi-boundedness, L 2 boundedness, algebra of symbols, uniformly local Sobolev space, Hölder space, semi-classical, Weyl-Hörmander class
@article{AIF_2008__58_4_1093_0,
     author = {Boulkhemair, Abdesslam},
     title = {On the Fefferman-Phong inequality},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {58},
     number = {4},
     year = {2008},
     pages = {1093-1115},
     doi = {10.5802/aif.2379},
     zbl = {1145.35099},
     mrnumber = {2427955},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2008__58_4_1093_0}
}
Boulkhemair, Abdesslam. On the Fefferman-Phong inequality. Annales de l'Institut Fourier, Volume 58 (2008) no. 4, pp. 1093-1115. doi : 10.5802/aif.2379. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2008__58_4_1093_0/

[1] Bony, J.-M. Sur l’inégalité de Fefferman-Phong, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (1998–1999) (Exposé no 3) | Numdam

[2] Boulkhemair, A. L 2 estimates for pseudodifferential operators, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Tome IV, XXII, 1 (1995), pp. 155-183 | Numdam | MR 1315354 | Zbl 0844.35145

[3] Boulkhemair, A. Remarks on a Wiener type pseudodifferential algebra and Fourier integral operators, Math. Res. Lett., Tome 4 (1997), pp. 53-67 | MR 1432810 | Zbl 0905.35103

[4] Boulkhemair, A. L 2 estimates for Weyl quantization, J. Funct. Anal., Tome 165 (1999), pp. 173-204 | Article | MR 1696697 | Zbl 0934.35217

[5] Coifman, R.; Meyer, Y. Au delà des opérateurs pseudodifférentiels, Astérisque Tome 57 (1978) | Zbl 0483.35082

[6] Fefferman, C.; Phong, D. H. On positivity of pseudodifferential operators, Proc. Nat. Acad. Sci., Tome 75 (1978), p. 4673-4674 | Article | MR 507931 | Zbl 0391.35062

[7] Hörmander, L. The analysis of partial differential operators, Springer Verlag (1985) | Zbl 0601.35001

[8] Lerner, N.; Morimoto, Y. On the Fefferman-Phong inequality and a Wiener type algebra of pseudodifferential operators, Preprint (2005) (to appear in the Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (Kyoto University)) | MR 2341014

[9] Lerner, N.; Morimoto, Y. A Wiener algebra for the Fefferman-Phong inequality, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (2005–2006) (Exposé no 17) | Numdam | MR 2276082 | Zbl 1122.35163

[10] Sjöstrand, J. An algebra of pseudodifferential operators, Math. Res. Lett., Tome 1,2 (1994), pp. 189-192 | MR 1266757 | Zbl 0840.35130

[11] Tataru, D. On the Fefferman-Phong inequality and related problems, Comm. Partial Differential Equations, Tome 27 (2002) no. 11-12, pp. 2101-2138 | Article | MR 1944027 | Zbl 1045.35115