In this paper the authors study compact homogeneous spaces (of a Lie group ) on which there if defined a -invariant symplectic form . It is an important feature of the paper that very little is assumed concerning and . The essential assumptions are: (1) is connected and (2) is uniform (i.e., is compact). Further, for convenience only and with no loss of generality, it is supposed that is simply connected and contains no connected normal subgroup of , i.e., that acts almost effectively on . It is then shown that , a direct product, where is compact semi-simple and is a semi-direct product of a connected abelian subgroup and the maximal connected normal nilpotent group , which is also abelian. Further and each have a natural symplectic structure. Some further results on are given together with an example which shows that can actually possess this two step solvable structure, i.e., it need not be abelian, although is a torus topologically. Once it has been established that is compact and symplectic, then the structure of is well-known from the work of others.
Dans cet article, les auteurs considèrent les espaces homogènes compacts d’un groupe de Lie sur lesquels est donnée une structure symplectique -invariante . Un point important de l’article est le fait que les hypothèses sur et sont minimales : (1) est connexe et (2) est uniforme (i.e. est compact). Pour faciliter l’exposition mais sans diminuer la généralité des conclusions, on a aussi supposé que est simplement connexe et que ne contient aucun sous-groupe invariant connexe de , i.e. l’action de sur est presque effective. Alors, il est démontré que , produit direct de semi-simple et compact et produit semi-direct d’un sous-groupe abélien avec un sous-groupe invariant abélien . De plus, et les espaces homogènes et héritent chacun d’une structure homogène symplectique. Quelques résultats supplémentaires sur sont donnés avec un exemple qui montre que peut, en fait, être muni d’une structure de groupe résoluble non-abélien mais que doit être homéomorphe au tore . Quant à , une fois établi que est compact, semi-simple, la structure de cet espace est bien connue.
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Zwart, P. B.; Boothby, William M. On compact homogeneous symplectic manifolds. Annales de l'Institut Fourier, Volume 30 (1980) no. 1, pp. 129-157. doi : 10.5802/aif.778. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.778/
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