Relying on sheaf theory, we introduce the notions of projected barcodes and projected distances for multi-parameter persistence modules. Projected barcodes are defined as derived pushforward of persistence modules onto $\mathbb{R}$. Projected distances come in two flavors: the integral sheaf metrics (ISM) and the sliced convolution distances (SCD). We conduct a systematic study of the stability of projected barcodes and show that the fibered barcode is a particular instance of projected barcodes. We prove that the ISM and the SCD provide lower bounds for the convolution distance. Furthermore, we show that the $\gamma $-linear ISM and the $\gamma $-linear SCD which are projected distances tailored for $\gamma $-sheaves can be computed using TDA software dedicated to one-parameter persistence modules. Moreover, the time and memory complexity required to compute these two metrics are advantageous since our approach does not require computing nor storing an entire $n$-persistence module.
En nous appuyant sur la théorie des faisceaux, nous introduisons les notions de code-barres projetés et de distances projetées pour les modules de persistance à plusieurs paramètres. Les code-barres projetés sont définis comme le poussé en avant dérivé des modules de persistance sur $\mathbb{R}$. Les distances projetées viennent en deux familles : les métriques intégrales de faisceaux (ISM) et les distances de convolution tranchées (SCD). Nous menons une étude systématique de la stabilité des code-barres projetés et montrons que le code-barre fibré est une instance particulière des code-barres projetés. Nous prouvons que l’ISM et la SCD fournissent des bornes inférieures pour la distance de convolution. De plus, nous montrons que les ISM $\gamma $-linéaires et les SCD $\gamma $-linéaires, qui sont des distances projetées adaptées aux $\gamma $-faisceaux, peuvent être calculées à l’aide de logiciels de TDA dédiés aux modules de persistance à un paramètre. De plus, la complexité en temps et en mémoire requise pour calculer ces deux métriques est avantageuse, car notre approche ne nécessite ni le calcul ni le stockage d’un module de persistance à $n$ paramètres.
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Keywords: topological data analysis, multi-parameter persistence, sheaf theory
Mots-clés : analyse de données topologique, persistance à plusieurs paramètres, théorie des faisceaux
Berkouk, Nicolas 1 ; Petit, François 2
Berkouk, Nicolas; Petit, François. Projected distances for multi-parameter persistence modules. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 60 p.
@unpublished{AIF_0__0_0_A40_0,
author = {Berkouk, Nicolas and Petit, Fran\c{c}ois},
title = {Projected distances for multi-parameter persistence modules},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
year = {2026},
publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
doi = {10.5802/aif.3752},
language = {en},
note = {Online first},
}
Cited by Sources: