We construct a nerve from double categories into double $(\infty ,1)$-categories and show that it gives a right Quillen and homotopically fully faithful functor between the model structure for weakly horizontally invariant double categories and the model structure on bisimplicial spaces for double $(\infty ,1)$-categories seen as double Segal objects in spaces complete in the horizontal direction. We then restrict the nerve along a homotopical horizontal embedding of $2$-categories into double categories, and show that it gives a right Quillen and homotopically fully faithful functor between Lack’s model structure for $2$-categories and the model structure for $2$-fold complete Segal spaces. We further show that Lack’s model structure is right-induced along this nerve from the model structure for $2$-fold complete Segal spaces.
On construit un nerf des catégories doubles dans les $(\infty ,1)$-catégories doubles et prouve que cela réalise un foncteur de Quillen à droite qui est homotopiquement pleinement fidèle entre la catégorie de modèles pour les catégories doubles faiblement horizontalement invariantes et la catégorie de modèles sur les espaces bisimpliciaux pour les $(\infty ,1)$-catégories doubles vues comme des espaces de Segal doubles qui sont complets dans la direction horizontale. On restreint ensuite ce nerf le long d’un plongement horizontal homotopique des $2$-catégories dans les catégories doubles et prouve que cela réalise un foncteur de Quillen à droite qui est homotopiquement pleinement fidèle entre la catégorie de modèles de Lack sur les $2$-catégories et la catégorie de modèles pour les espaces de Segal complets doubles. On montre de plus que la catégorie de modèles de Lack sur les $2$-catégories peut être obtenue comme la catégorie de modèles transferrée le long de ce nerf depuis la catégorie de modèles pour les espaces de Segal complets doubles.
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Online First:
Keywords: Nerve, 2-categories, double categories, 2-fold complete Segal spaces, double $\infty $-categories
Mots-clés : Nerf, 2-catégories, catégories doubles, espaces de Ségal complets doubles, $\infty $-catégories doubles
Moser, Lyne 1
@unpublished{AIF_0__0_0_A38_0,
author = {Moser, Lyne},
title = {A double $(\infty ,1)$-categorical nerve for double categories},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
year = {2026},
publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
doi = {10.5802/aif.3750},
language = {en},
note = {Online first},
}
Moser, Lyne. A double $(\infty ,1)$-categorical nerve for double categories. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 79 p.
Cited by Sources: