Let $G$ be a group and let $\mathcal{G}$ be a free factor system of $G$, namely a free splitting of $G$ as $G=G_1* \cdots *G_k*F_r$. In this paper, we study the set of train track points for $\mathcal{G}$-irreducible automorphisms $\phi $ with exponential growth. Such set is known to coincide with the minimally displaced set $\operatorname{Min}(\phi )$ of $\phi $, in the relative deformation space corresponding to the splitting. The theory of such relative spaces, even if it is more general by its own nature, is crucial to understanding reducible automorphisms of free groups, as any automorphism is relatively irreducible with respect to some free factor system $\mathcal{G}$.
Our main result is that $\operatorname{Min}(\phi )$ is co-compact, under the action of the cyclic subgroup generated by $\phi $.
Along the way we obtain other results that could be of independent interest. For instance, we prove that any point of $\operatorname{Min}(\phi )$ is in uniform distance from $\operatorname{Min}(\phi ^{-1})$. We also prove that the action of $G$ on the product of the attracting and the repelling trees for $\phi $, is discrete. Finally, we get some fine insight about the local topology of relative outer space.
Some applications of co-compactness are discussed. In particular we generalise a classical result of Bestvina, Feighn and Handel for the centralisers of irreducible automorphisms of free groups, in the more general context of relatively irreducible automorphisms of a free product. From this, we deduce that centralisers of elements of $\operatorname{Out}(F_3)$ are finitely generated, which was previously unknown. Finally, we mention that an immediate corollary of co-compactness is that the set $\operatorname{Min}(\phi )$ is always quasi-isometric to a line.
Soit $G$ un groupe et $\mathcal{G}$ un système de facteurs libres de $G$, c’est a dire une décomposition de $G$ en produits libres comme $G = G_1 * \cdots * G_k * F_r$. Dans cet article, nous étudions l’ensemble de points train track pour les automorphismes $\phi $ qui sont $\mathcal{G}$-irréductibles et à croissance exponentielle. On sait qu’un tel ensemble coïncide avec l’ensemble $\operatorname{Min}(\phi )$ des points qui sont minimalement déplacé par $\phi $ dans l’espace de déformation relatif correspondant à la décomposition $\mathcal{G}$. La théorie de tels espaces relatifs, même si elle est plus générale par nature, est essentielle pour comprendre les automorphismes réductibles des groupes libres, car tout automorphisme est relativement irréductible par rapport à quelque système de facteurs libres $\mathcal{G}$.
Notre résultat principal est que l’action sur $\operatorname{Min}(\phi )$ du groupe cyclique engendré par $\phi $ est co-compacte.
En passant, nous obtenons d’autres résultats qui pourraient présenter un intérêt indépendant. Par exemple, nous prouvons que tout point de $\operatorname{Min}(\phi )$ est à distance uniforme de $\operatorname{Min}(\phi ^{-1})$. Nous prouvons également que l’action de $G$ sur le produit des arbres attractif et répulsif de $\phi $ est discrète. Enfin, nous obtenons un aperçu précis de la topologie locale de l’outre-espace relatif.
Quelques applications de la co-compacité sont discutées. En particulier, nous généralisons un résultat classique de Bestvina, Feighn et Haendel pour les centralisateurs des automorphismes irréductibles du groupe libre, dans le contexte plus général des automorphismes relativement irréductibles de produits libres. On en déduit que les centralisateurs des éléments de $\operatorname{Out}(F_3)$ sont finiment engendrés, ce qui était auparavant inconnu. Finalement, nous mentionnons qu’un corollaire immédiat de la co-compacité est que l’ensemble $\operatorname{Min}(\phi )$ est toujours quasi-isométrique à une droite.
Revised:
Accepted:
Online First:
Keywords: automorphisms of free groups, conjugacy problem
Mots-clés : automorphismes des groupes libres, problème de la conjugaison
Francaviglia, Stefano 1 ; Martino, Armando 2 ; Syrigos, Dionysios 2
Francaviglia, Stefano; Martino, Armando; Syrigos, Dionysios. On the action of relatively irreducible automorphisms on their train tracks. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 91 p.
@unpublished{AIF_0__0_0_A35_0,
author = {Francaviglia, Stefano and Martino, Armando and Syrigos, Dionysios},
title = {On the action of relatively irreducible automorphisms on their train tracks},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
year = {2026},
publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
doi = {10.5802/aif.3747},
language = {en},
note = {Online first},
}
TY - UNPB AU - Francaviglia, Stefano AU - Martino, Armando AU - Syrigos, Dionysios TI - On the action of relatively irreducible automorphisms on their train tracks JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2026 PB - Association des Annales de l’institut Fourier N1 - Online first DO - 10.5802/aif.3747 LA - en ID - AIF_0__0_0_A35_0 ER -
%0 Unpublished Work %A Francaviglia, Stefano %A Martino, Armando %A Syrigos, Dionysios %T On the action of relatively irreducible automorphisms on their train tracks %J Annales de l'Institut Fourier %D 2026 %V 0 %N 0 %I Association des Annales de l’institut Fourier %Z Online first %R 10.5802/aif.3747 %G en %F AIF_0__0_0_A35_0
Cited by Sources: