We consider the Caffarelli–Kohn–Nirenberg inequality (CKN in short), introduced by these authors in 1984. We explain why the CKN inequality can be viewed as a Sobolev inequality on a weighted Riemannian manifold. More precisely, we prove that the CKN inequality can be interpreted in this way on three different and equivalent models, obtained as weighted versions of the standard Euclidean space, round sphere and hyperbolic space. This result can be viewed as an extension of conformal invariance to the weighted setting. Since the spherical CKN model we introduce has finite measure, the $\Gamma $-calculus introduced by Bakry and Émery provides a way to prove the Sobolev inequalities. This method allows us to recover the optimality of the region of parameters describing symmetry-breaking of minimizers of the CKN inequality, introduced by Felli and Schneider and proved by Dolbeault, Esteban and Loss in 2016. Finally, we develop the notion of $n$-conformal invariants, exhibiting a way to extend the notion of scalar curvature to weighted manifolds such as the CKN models.
Nous considérons l’inégalité de Caffarelli–Kohn–Nirenberg (abréviée CKN), introduite en 1984 par ces auteurs. Nous expliquons comment l’inégalité CKN peut être vue comme une inégalité de Sobolev sur une variété Riemannienne à poids. Plus précisément, nous montrons que l’inégalité CKN peut être interprétée de la sorte sur trois espaces modèles distincts et équivalents, obtenus comme des versions à poids de l’espace euclidien, la sphère ronde et l’espace hyperbolique. Ce résultat peut être vu comme une extension de l’invariance conforme dans le cadre des variétés à poids. Puisque le modèle CKN sphérique que nous introduisons est de mesure finie, le $\Gamma $-calcul de Bakry et Émery procure une méthode pour démontrer les inégalités de Sobolev associées. Cette méthode nous permet de retrouver l’optimalité de la zone de paramètres décrivant la brisure de symétrie des minimiseurs de l’inégalité CKN, introduite par Felli et Schneider et démontrée en 2016 par Dolbeault, Esteban et Loss. Enfin, nous développons la notion d’invariant $n$-conforme, qui donne une façon d’étendre la notion de courbure scalaire aux variétés à poids, et donc aux modèles CKN.
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Keywords: optimal functional inequality, symmetry, curvature-dimension condition, conformal invariance
Mots-clés : inégalité fonctionnelle optimale, symétrie, condition de courbure-dimension, invariance conforme
Dupaigne, Louis 1 ; Gentil, Ivan 1 ; Zugmeyer, Simon 2
Dupaigne, Louis; Gentil, Ivan; Zugmeyer, Simon. A conformal geometric point of view on the Caffarelli–Kohn–Nirenberg inequality. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 49 p.
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