Metric upper bounds for Steklov and Laplace eigenvalues
Colbois, Bruno1; Girouard, Alexandre2
1Université de Neuchâtel, Institut de Mathématiques, Rue Emile-Argand 11, CH-2000 Neuchâtel, Switzerland
2Département de mathématiques et de statistique, Pavillon Alexandre-Vachon, Université Laval, Québec, QC, G1V 0A6, Canada
Annales de l'Institut Fourier, Online first, 16 p.

We prove two upper bounds for the Steklov eigenvalues of a compact Riemannian manifold with boundary. The first involves the volume of the manifold and of its boundary, as well as packing and volume growth constants of the boundary and its distortion. Its proof is based on metric-measure space techniques. The second bound is in terms of the extrinsic diameter of the boundary and its injectivity radius. It is obtained from a concentration inequality, akin to Gromov–Milman concentration for closed manifolds. By applying these bounds to cylinders over closed manifolds, we obtain bounds for eigenvalues of the Laplace operator, in the spirit of Berger–Croke. For a family of manifolds that has uniformly bounded volume and boundary of fixed intrinsic geometry, we deduce that a large first nonzero Steklov eigenvalue implies that each boundary component is contained in a ball of small extrinsic radius.

Nous obtenons deux bornes supérieures pour les valeurs propres de Steklov d’une variété riemannienne compacte à bord. La première fait intervenir le volume de la variété et de son bord, des constantes d’empilement et de croissance du bord ainsi que sa distorsion. La preuve utilise une technique provenant de la théorie des espaces métriques mesurés. La deuxième borne dépend du diamètre extrinsèque du bord et de son rayon d’injectivité et découle d’une inégalité de concentration à la Gromov–Milman. En appliquant ces bornes à des cylindres, on obtient des bornes pour les valeurs propres du laplacien sur des variétés fermées, semblables à celles de Berger–Croke. Pour des variétés dont le volume est uniformément borné et dont le bord est de géométrie intrinsèque prescrite, nous déduisons qu’une grande valeur propre de Steklov implique que chaque composante du bord est contenue dans une boule extrinsèque de petit rayon.

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Online First:
DOI: 10.5802/aif.3742
Classification: 58C40
Keywords: Steklov spectrum, geometric eigenvalue bounds
Mots-clés : spectre de Steklov, borne géométrique pour les valeurs propres

Colbois, Bruno  1 ; Girouard, Alexandre  2

1 Université de Neuchâtel, Institut de Mathématiques, Rue Emile-Argand 11, CH-2000 Neuchâtel, Switzerland
2 Département de mathématiques et de statistique, Pavillon Alexandre-Vachon, Université Laval, Québec, QC, G1V 0A6, Canada 
Colbois, Bruno; Girouard, Alexandre. Metric upper bounds for Steklov and Laplace eigenvalues. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 16 p.
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TY  - UNPB
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JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2025
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
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Cited by Sources: