We consider a compact manifold of dimension greater than 2 with a differential form of degree one which is closed but non-exact. This form, viewed as a multi-valued real function has a gradient vector field with respect to any Riemannian metric. After S. Novikov’s work and a complement by J.-C. Sikorav, under some genericness assumptions, this data yields a complex, called today the Morse–Novikov complex. Due to the non-exactness of the form, its gradient may have a homoclinic orbit. The one-form being fixed, we investigate the codimension-one stratum, in the space of gradients, formed by those having only one simple homoclinic orbit. The crossing of such a stratum has a subtle effect on the Morse–Novikov complex: some crossing may creates infinitely many new heteroclinic orbits; and some simple homoclinic orbit may be approached by simple homoclinic orbits of double energy. These latter two phenomena are linked.
On considère une variété compacte de dimension plus grande que $2$ munie d’une $1$-forme différentielle fermée non-exacte. Cette forme, vue comme une fonction réelle multivaluée, a un champ de gradient pour toute métrique riemannienne. D’après S. Novikov et un complément de J.-C. Sikorav, sous des hypothèses convenables de généricité, il découle de ces données un complexe appelé aujourd’hui le complexe de Morse–Novikov. La non-exactitude de la $1$-forme permet des orbites homoclines. Nous étudions la strate, de codimension-un dans l’espace des gradients, formée de ceux qui ont une orbite homocline simple. Son croisement a un effet subtil sur le complexe de Morse–Novikov : il peut créer une infinité d’orbites hétéroclines ; par ailleurs, une orbite homocline simple peut être approchée pa des orbites homoclines simples d’énergie double. Ces deux phénomènes sont reliés.
Accepted:
Online First:
Keywords: closed one-form, Morse–Novikov theory, Kupka–Smale gradient, homoclinic bifurcation, holonomy
Mots-clés : $1$-forme fermée, théorie de Morse–Novikov, gradient Kupka–Smale, bifurcation homocline, holonomie
Laudenbach, François 1 ; Moraga Ferrándiz, Carlos 2
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Laudenbach, François; Moraga Ferrándiz, Carlos. Homoclinic bifurcation in Morse–Novikov theory, a doubling phenomenon. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 51 p.
Cited by Sources: