On q-summation and confluence
Annales de l'Institut Fourier, Volume 59 (2009) no. 1, pp. 347-392.

This paper is divided in two parts. In the first part we study a convergent q-analog of the divergent Euler series, with q(0,1), and we show how the Borel sum of a generic Gevrey formal solution to a differential equation can be uniformly approximated on a convenient sector by a meromorphic solution of a corresponding q-difference equation. In the second part, we work under the assumption q(1,+). In this case, at least four different q-Borel sums of a divergent power series solution of an irregular singular analytic q-difference equations are spread in the literature: under convenient assumptions we clarify the relations among them.

Cet article est divisé en deux parties. Dans la première partie, nous étudions un q-analogue convergent de la série d’Euler, pour q]0,1[, et nous prouvons que la somme de Borel d’une série Gevrey générique, solution d’une équation différentielle, peut être approchée uniformément, sur un secteur convenable, par la solution méromorphe d’une équation aux q-différences associée. Dans la deuxième partie, nous travaillons sous l’hypothèse q]1,+[. Dans ce cas, au moins quatre notions différentes de q-sommations ont été introduites dans la littérature : nous clarifions, sous des hypothèses raisonnables, les relations entre ces notions.

DOI: 10.5802/aif.2433
Classification: 34M30,  39A13,  33D05
Keywords: Summation, confluence, q-difference equations, Euler series
Di Vizio, Lucia 1; Zhang, Changgui 2

1 Institut de Mathématiques de Jussieu Topologie et géométrie algébriques, Case 7012 2, place Jussieu 75251 Paris Cedex 05 (France)
2 Laboratoire P. Painleve U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées USTL, Cité scientifique 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)
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