# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible
Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, pp. 139-153.

Let $\rho$, $u$, $e$, $S$, $p$ the usual variables describing the state of a fluid in an eulerian frame. The underlying physical space is ${ℝ}^{d}$, $d\ge 1$. We restrict to the perfect gas law: $p=\left(\gamma -1\right)\rho e$, where $\gamma \in \left[1,1+2/d\right]$ is a constant. In the formal limit $\rho \to 0$ (rarefied gases), the particles evolve freely with a uniform motion; if the initial velocity field is linear (say ${u}_{0}\left(x\right)={A}_{0}x$), then it remains so, with ${A}^{\prime }\left(t\right)=-A\left(t{\right)}^{2}$, and it is defined for every positive time, provided ${A}_{0}$ does not have a non-positive real eigenvalue. Let ${u}_{A}$ be this field. The purpose of this paper is to prove that, if the initial data $\left({\rho }_{0},{u}_{0},{S}_{0}\right)$ is close to $\left(0,{u}_{A},\overline{S}\right)$, with $\overline{S}$ a constant, then the Cauchy problem admits a (unique) smooth solution defined for all $t\ge 0$. In the mono-atomic case ($\gamma =1+2/d$), we give an accurate description of the asymptotic behaviour. All these results are especially designed for finite mass flows. The above-mentioned closeness relies as usual to the space ${H}^{m}\left({ℝ}^{d}\right)$ with $m>1+d/2$.

In even space dimension (say $d=2$), our result shows the existence of non-trivial smooth flows defined for all times $t\in ℝ$.

Soit $\rho$, $u$, $e$, $S$ et $p$ les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori ${ℝ}^{d}$ tout entier, mais $\rho$ peut être nul en dehors d’un compact $K\left(t\right)$. On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, $p=\left(\gamma -1\right)\rho e$, où $\gamma \in \left[1,1+2/d\right]$ est une constante. Le cas $\gamma =1+2/d$ est celui du gaz mono-atomique.

Dans la limite $\rho \to 0$, les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à ${v}_{t}+\left(v·\nabla \right)v=0$. Si de plus $v\left(0,x\right)={A}_{0}x$, où ${A}_{0}\in {M}_{d}\left(ℝ\right)$ n’a pas de valeur propre réelle négative, $v$ est défini pour tout $t\ge 0:v\left(t,x\right)=A\left(t\right)x$, ce qu’on note ${u}_{A\left(t\right)}$.

On montre ici que, pour une condition initiale ${\rho }_{0}$, ${u}_{0}$, ${S}_{0}$ telle que ${\rho }_{0}^{\left(\gamma -1\right)/2}$, ${u}_{0}-{u}_{{A}_{0}}$, ${S}_{0}-\overline{S}$ ($\overline{S}$ étant une constante) soient petits dans ${H}^{m}\left({ℝ}^{d}\right)$ ($m>1+d/2$), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout $t\ge 0$. Si de plus ${A}_{0}$ n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, $d$ est pair), l’existence a lieu pour tout $t\in ℝ$. Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.

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