Let , , , , the usual variables describing the state of a fluid in an eulerian frame. The underlying physical space is , . We restrict to the perfect gas law: , where is a constant. In the formal limit (rarefied gases), the particles evolve freely with a uniform motion; if the initial velocity field is linear (say ), then it remains so, with , and it is defined for every positive time, provided does not have a non-positive real eigenvalue. Let be this field. The purpose of this paper is to prove that, if the initial data is close to , with a constant, then the Cauchy problem admits a (unique) smooth solution defined for all . In the mono-atomic case (), we give an accurate description of the asymptotic behaviour. All these results are especially designed for finite mass flows. The above-mentioned closeness relies as usual to the space with .
In even space dimension (say ), our result shows the existence of non-trivial smooth flows defined for all times .
Soit , , , et les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori tout entier, mais peut être nul en dehors d’un compact . On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, , où est une constante. Le cas est celui du gaz mono-atomique.
Dans la limite , les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à . Si de plus , où n’a pas de valeur propre réelle négative, est défini pour tout , ce qu’on note .
On montre ici que, pour une condition initiale , , telle que , , ( étant une constante) soient petits dans (), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout . Si de plus n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, est pair), l’existence a lieu pour tout . Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.
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Serre, Denis. Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible. Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, pp. 139-153. doi : 10.5802/aif.1563. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1563/
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