no. 1
Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible
Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, pp. 139-153

Soit ρ, u, e, S et p les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori ℝ d tout entier, mais ρ peut être nul en dehors d’un compact K(t). On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, p=(γ-1)ρe, où γ∈[1,1+2/d] est une constante. Le cas γ=1+2/d est celui du gaz mono-atomique.

Dans la limite ρ→0, les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à v t +(v·∇)v=0. Si de plus v(0,x)=A 0 x, où A 0 ∈M d (ℝ) n’a pas de valeur propre réelle négative, v est défini pour tout t≥0:v(t,x)=A(t)x, ce qu’on note u A(t) .

On montre ici que, pour une condition initiale ρ 0 , u 0 , S 0 telle que ρ 0 (γ-1)/2 , u 0 -u A 0 , S 0 -S ¯ (S ¯ étant une constante) soient petits dans H m (ℝ d ) (m>1+d/2), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout t≥0. Si de plus A 0 n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, d est pair), l’existence a lieu pour tout t∈ℝ. Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.

Let ρ, u, e, S, p the usual variables describing the state of a fluid in an eulerian frame. The underlying physical space is ℝ d , d≥1. We restrict to the perfect gas law: p=(γ-1)ρe, where γ∈[1,1+2/d] is a constant. In the formal limit ρ→0 (rarefied gases), the particles evolve freely with a uniform motion; if the initial velocity field is linear (say u 0 (x)=A 0 x), then it remains so, with A ′ (t)=-A(t) 2 , and it is defined for every positive time, provided A 0 does not have a non-positive real eigenvalue. Let u A be this field. The purpose of this paper is to prove that, if the initial data (ρ 0 ,u 0 ,S 0 ) is close to (0,u A ,S ¯), with S ¯ a constant, then the Cauchy problem admits a (unique) smooth solution defined for all t≥0. In the mono-atomic case (γ=1+2/d), we give an accurate description of the asymptotic behaviour. All these results are especially designed for finite mass flows. The above-mentioned closeness relies as usual to the space H m (ℝ d ) with m>1+d/2.

In even space dimension (say d=2), our result shows the existence of non-trivial smooth flows defined for all times t∈ℝ.

Serre, Denis. Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible. Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, pp. 139-153. doi: 10.5802/aif.1563
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