We study the affine structure of a subset generating all the solutions of the functional equation where is any commutative field and belongs to (by combinatorial means, one must assume indeed to get non-trivial solutions). The elements of this subset are the formal power series where the sequence satisfies: and Let define an application in by and let d be the standard derivation. By using these notations, the classical Taylor’s formula can be written: . We shall show that there is a canonical bijection between and the set of endomorphisms of the -space which commute with or d and s.t. . More precisely, for such a , there exists s.t. (reciprocally, this is a “Taylor’s formula” which characterizes or ). The set of these endomorphisms is the orbit under the operation of the group GSF (the group of series with and which are invertible for the composition of the formal power series) on defined by (and ). From several independent lemmas on linear algebra and combinatorial analysis, one get new developments in various domains: heights in several variables, geometry of polynomials ...
Soit un corps commutatif. Chercher une série formelle vérifiant conduit naturellement à étudier l’application , étant une unité de l’algèbre , et à ramener les solutions à la forme , étant une suite de vérifiant les “identités multinomiales” :
Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant . L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble formé des éléments tels que (ou , ), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.
Soit (resp. d) l’application définie sur par (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc . L’ensemble des endomorphismes de commutant avec d ou (modulo l’extension des scalaires à ) et vérifiant , est canoniquement en bijection avec ; en effet, on prouvera qu’à un tel est associée une base de Jordan appartenant à et pour laquelle (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise ou les ). L’ensemble de ces endomorphismes est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF des éléments de inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître comme l’orbite de dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF sur définie par :. Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.
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Langevin, Michel. Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle. Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, pp. 1-48. doi : 10.5802/aif.1558. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1558/
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