no. 4
Systèmes aux q-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071

G.D. Birkhoff a posé, par analogie avec le cas classique des équations différentielles, le problème de Riemann-Hilbert pour les systèmes “fuchsiens” aux q-différences linéaires, à coefficients rationnels. Il l’a résolu dans le cas générique: l’objet classifiant qu’il introduit est constitué de la matrice de connexion P et des exposants en 0 et ∞. Nous reprenons sa méthode dans le cas général, mais en traitant symétriquement 0 et ∞ et sans recours à des solutions à croissance “sauvage”. Lorsque q tend vers 1, P tend vers une matrice localement constante P ˜ telle que les valeurs (en nombre fini) P ˜(a) -1 P ˜(b) sont les matrices de monodromie du système différentiel limite (supposé non résonnant en 0 et ∞) en les singularités de ℂ * .

G.D. Birkhoff extended the classical Riemann-Hilbert problem for differential equations to the case of “fuchsian” linear q-difference systems with rational coefficients. He solved it in the generic case: the classifying object which he introduces is made up of the connection matrix P, together with the exponents at 0 and ∞. We follow his method in the general case, but treat symmetrically 0 and ∞ and use no “wildly” growing solutions. When q tends to 1, P tends to a locally constant matrix P ˜ such that the (finitely many) values P ˜(a) -1 P ˜(b) are the monodromy matrices of the limiting differential system (assumed to be non resonant at 0 and ∞) at the singularities on ℂ * .

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[1] C.R. Adams, On the Linear Ordinary q-Difference Equations, Ann. Math., série 2, 30, n° 2 (1929), 195-205. | JFM | MR

[2] C.R. Adams, Linear q-Difference Equations, Bull. Amer. Math. Soc., (1931), 361-399. | Zbl | JFM | MR

[3] V.I. Arnold, Ordinary Differential Equations, in Dynamical Systems, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 1, Springer-Verlag, 1980. | Zbl

[4] D. Bertrand, Groupes algébriques linéaires et théorie de Galois différentielle, Cours 3e cycle, Université Paris VI, 1986.

[5] J.-P. Bézivin, Sur les équations fonctionnelles aux q-différences, Aequationes Math., 43 (1992), 159-176. | Zbl | MR | EuDML

[6] G.D. Birkhoff, The generalized Riemann problem for linear differential equations and the allied problems for linear difference and q-difference equations, Proc. Amer. Acad., 49 (1913), 521-568. | JFM

[7] G.D. Birkhoff, Formal Theory of Irregular Linear Difference Equations, Acta Math., 54 (1930), 205-246. | JFM | MR

[8] J. Cano, J.-P. Ramis, Théorie de Galois différentielle, livre en préparation, 1999.

[9] R.D. Carmichael, The General Theory of Linear q-difference Equations, Amer. J. Math., 34 (1912), 147-168. | JFM | MR

[10] P. Deligne, Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 163 (1970). | Zbl | MR

[11] P.I. Etingof, Galois Groups and Connection Matrices of q-difference Equations, Electronic Research Announcements of the A.M.S., vol. 1, issue 1 (1995). | Zbl | MR

[12] G. Gasper, M. Rahman, Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics, vol. 35, Cambridge University Press, 1990. | Zbl | MR

[13] E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956.

[14] K. Iwasaki, H. Kimura, S. Shimomura, M. Yoshida, From Gauss to Painlevé, Braunschweig, Vieweg, 1991.

[15] S. Lang, Elliptic Functions, Springer-Verlag, 1987. | Zbl | MR

[16] F. Marotte, C. Zhang, Multisommabilité des séries entières solutions formelles d'une équation aux q-différences linéaire analytique, article en préparation, 1999. | Zbl | Numdam

[17] D. Mumford, Tata Lectures on Theta, vol I, Birkhäuser, 1983. | Zbl

[18] G. Pourcin (éd.), Rapport du jury de l'agrégation de mathématiques, Ministère de l'Éducation Nationale, Centre National de Documentation Pédagogique, 1994.

[19] M. Van Der Put, M.F. Singer, Galois theory of difference equations, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 1666 (1997). | Zbl | MR

[20] S. Ramanujan, Collected Works, Chelsea, 1927.

[21] J.-P. Ramis, About the growth of entire functions solutions to linear algebraic q-difference equations, Annales Fac. Sciences de Toulouse, 6, vol. I, n° 1 (1992), 53-94. | Zbl | MR | Numdam

[22] J.-P. Ramis, Fonctions θ et équations aux q-différences, non publié, Strasbourg, 1990.

[23] J. Sauloy, Matrice de connexion d'un système aux q-différences confluant vers un système différentiel et matrices de monodromie, Preprint, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1998.

[24] J. Sauloy, Théorie de Galois des équations aux q-différences fuchsiennes, thèse, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1999.

[25] J. Sauloy, Galois Theory of Fuchsian q-differences Equations, article en préparation, 2000.

[26] L. Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Teubner, 1895. | JFM

[27] W.J. Trjitzinsky, Analytic Theory of Linear q-Difference Equations, Acta Math., 61 (1933), 1-38. | Zbl | JFM

[28] W. Wasow, Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1965. | Zbl | MR

[29] E.T. Whittaker, G.N. Watson, A course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1927. | JFM

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